En zor mantık bulmacası: Çözümün yolu

Üç hafta önce, ünlü Amerikalı mantıkçı Raymond Smullyan tarafından geliştirilen ve genellikle 'En zor mantık bulmacası' adıyla anılan bir bulmacayı aktardım.

Üç hafta önce, ünlü Amerikalı mantıkçı Raymond Smullyan tarafından geliştirilen ve genellikle 'En zor mantık bulmacası' adıyla anılan bir bulmacayı aktardım. Bu bulmacayı, yine ünlü bir Amerikalı mantıkçı olan George Boolos çözmüştü ve çözmekle yetinmeyip bulmaca hakkında Harvard Review of Philosophy dergisine bir yazı da yazmıştı.
İlk hafta sizlerden bulmaca için doğru cevap gelmeyince ben de konuyu uzatmaya ve sizlere bazı ipuçları aktarmaya karar verdim. George Boolos, bu en zor bulmacayı çözmek için çok ilginç bir yöntem geliştirmiş, bu zor bulmacayı kendine göre parçalara ayırmıştı. İşte geçen hafta size esas bulmacanın parçalanmış ve basitleştirilmiş hali olan üç farklı bulmaca
sordum. Önce onları hatırlayalım ve çözümlerini görelim:
Bulmaca 1: Elimdeki desteden iki as ve bir valeyi yüzleri gözükmeyecek şekilde masaya koyuyorum. Bana elinizi kartlardan birinin üzerine koyarak tek bir evet-hayır sorusu sorarak aslardan birinin yerini tahmin edeceksiniz. Ama ben, eğer elinizle dokunduğunuz kart bir as ise sorunuza doğru cevap vereceğim, vale ise evet veya hayır cevabımı tamamen rastgele vereceğim.
Bulmaca 2: Varsayın ki önünüzde iki tanrı var, biri doğru öteki yalan söylüyor. Ve siz hangisi yalancı hangisi doğrucu bilmiyorsunuz. Bir sebeple, Duşanbe'nin Kırgızistan'da olup olmadığını öğrenmek istiyorsunuz. Tanrılardan birine bir tek evet-hayır sorusu sorarak, Duşanbe'nin Kırgızistan'da olup olmadığını belirleyebilir misiniz?
Bulmaca 3: Şimdi, kesinlikle doğrucu tanrı ile konuşuyorsunuz ama size Türkçe cevap vermek yerine 'da' veya 'ja' diyor ve siz bunlardan hangisinin 'evet' hangisinin 'hayır' demek olduğunu bilmiyorsunuz. Yine tek evet-hayır sorusuyla Duşanbe'nin Kırgızistan'da olup olmadığını belirleyebilir misiniz?
***
Cevap 1: Ortadaki kartı elinizle gösterin ve sorun: 'Soldaki kart as mı?' Eğer cevabım evet ise soldaki kartı seçin, hayır ise sağdakini. Neden böyle olduğunu açıklamaya çalışayım: Eğer işaret ettiğiniz kart as ise ben size doğru cevabı vereceğim ve evet dediğimde soldaki kartın, hayır dediğimde sağdaki kartın as olduğundan emin olabilirsiniz. Yok ortadaki kart vale ise ve ben yalan söylüyorsam, yine fark etmez, çünkü bu durumda da hem sağdaki hem soldaki kart zaten astır.
Cevap 2 ve Cevap 3 için mantık disiplininin kimi araçlarını kullanacağız. Bunların başında da, İngilizce kısaltması 'iff' olan, bizim Türkçe lise mantık derslerinde 'eğer ancak-ise' diye öğrendiğimiz (İngilizcesi 'if, and only if') araç geliyor.
Bu 'iff'i iki önermenin arasına koyduğunuzda, önermelerin ikisi de doğru veya yanlış olsa dahi sonuçta 'doğru'yu elde edersiniz. Ama eğer biri doğru biri yanlış iki önermenin arasına 'eğer ancak-ise' koyarsanız bu kez yanlışı elde edersiniz.
Örneğin, 'Dünyamızın uydusu olan Ay peynirden yapılmıştır IFF Roma Rusya'dadır' cümlesi doğrudur, Ay'ın peynirden yapılmış olması ve Roma'nın Rusya'da olması önermeleri yanlıştır.
Ama mesela 'Ay peynirden yapılmıştır IFF Roma İtalya'dadır' denseydi bu cümle yanlış olurdu, çünkü önermelerden biri doğru biri yanlıştır.
Şimdi gelelim Cevap 2'ye: Bunu çözmek için tanrıya 'Duşanbe Kırgızistan'da mıdır' gibi basit bir soru yerine daha karmaşık, yani 'iff' içeren bir soru soralım: 'Sen Doğru musun 'IFF' Duşanbe Kırgızistan'da mı?'
Bu soru üzerine dört ihtimal var:
1. Tanrı Doğru ve Duşanbe Kırgızistan'da: Cevap evet.
2. Tanrı Doğru ve Duşanbe Kırgızistan'da değil: Cevap hayır.
3. Tanrı Yalan ve Duşanbe Kırgızistan'da: Cevap evet;
çünkü önermelerden sadece biri doğru, o yüzden cevabın hayır olması lazım ama bu tanrı yalancı olduğu için evet diyor.
4. Tanrı Yalan ve Duşanbe Kırgızistan'da değil: Cevap hayır; çünkü iki önerme de yanlış ve doğru cevap evet ama bu tanrı yalancı olduğu için hayır diyor.
Gördüğünüz gibi Doğru veya Yalan tanrıyla konuşuyor olmanızın aslında bir önemi yok. Her durumda, 'Sen Doğru musun IFF X?' diye soruyoruz. X doğru ise 'evet' yanlış ise 'hayır' cevabı alıyoruz.
Ve Cevap 3: Aslında bu bulmacada da aynı yöntemi izleyeceğiz. Bu kez sorumuz 'Da evet mi demektir IFF Duşanbe Kırgızistan'da mıdır?' şeklinde olacak. Yine dört ihtimal var:
1. Da evet demek ve Duşanbe Kırgızistan'da: Doğru 'da' der.
2. Da evet demek ve Duşanbe Kırgızistan'da değil: Doğru 'ja' der (yani hayır).
3. Da hayır demek ve Duşanbe Kırgızistan'da: Doğru 'da' der
(yani hayır).
4. Da hayır demek ve Duşanbe Kırgızistan'da değil: Her iki
önerme de yanlış olduğuna göre, doğru cevabın 'evet' olması gerekirdi, yani Doğru 'ja' der.
Yani, eğer Duşanbe Kırgızistan'daysa 'da', değilse 'ja' cevabı alıyorsunuz, bunlardan hangisinin 'evet' hangisinin 'hayır' anlamına geldiğine bakılmaksızın.
Burada önemli olan, Doğru'ya, 'Da evet demek midir IFF Y?' diye sorduğunuzda, eğer Y doğruysa 'Da', yanlışsa 'Ja' cevabını alıyor olmanız. Hangisinin ne anlama geldiğine bakılmaksızın!
Evet, bence artık büyük bulmacamızı çözecek kadar ipucuna sahip oldunuz. Bulmacayı yeniden hatırlatıyorum:
A, B ve C diyeceğimiz üç tanrı var, bunların isimleri Gerçek, Yalan ve Rastgele. Gerçek her zaman gerçeği söylüyor, Yalan her zaman yalan, Rastgele ise bazen gerçeği bazen yalanı söylüyor tamamen rastgele. Üç tane evet-hayır sorusu sorarak ve her soruyu mutlaka tanrılardan tek bir tanesine yönelterek A, B ve C'nin hangisinin Gerçek, hangisinin Yalan ve hangisinin Rastgele olduğunu bulmalısınız. Bu tanrılar Türkçe anlıyorlar ama kendi dillerinde konuşuyorlar sadece. O dilde de 'da' veya 'ja' diyorlar sorulara cevaben. Bu kelimelerden hangisi 'evet' hangisi 'hayır' anlamına geliyor, bunu da bilmiyoruz.
Bu bulmacaya 1996 yılında George Boolos bazı açıklamalar getirmiş, onları da aktarıyorum:
-Tanrılardan birine birden fazla soru sorulabilir, tabii o zaman başka bir tanrıya hiç soru sorulmamış olur.
-İkinci sorunun ne olduğu ve hangi tanrıya sorulacağı,
ilk soruya verilecek cevaba bağlı olabilir. (Elbette üçüncü soru için de bu geçerli.)
-Rastgele'nin doğru mu yalan mı söylediği ve neye göre böyle yaptığı sorusu şuna benzetilebilir: Beyninde bir parayla yazı tura atıyor ve mesela yazı geldikçe doğruyu, tura geldikçe yalanı söylüyor.
-Rastgele, sorulan evet-hayır sorularına 'da' veya 'ja' diye cevap verecek.
***
Cevapları elektronik posta kutuma bekliyorum. İyi pazarlar.